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然而,牛顿爵士发现了一个捷径。
不用做复杂的运算,就能够直接得到答案。
他看到这些x乘方前的系数,截然发觉一个熟悉的事实。
1
1,1
1,2,1(2次方)
1,3,3,1(3次方)
1,4,6,4,1(4次方)
……
一直到下面的x次方,都是这个中西方都颇有名气的三角数列(帕斯卡三角、杨辉三角)。
林奇慢慢握紧拳头,比起不断循环给新算式套多一次(1+x)而言,这个三角算是很好算。
因为相邻两位相加便是三角形下的新数值。
所以中国、古希腊、印度、波斯等文明都发现了这个规律!
靠这个三角形,20次方的展开序列,他也能够轻而易举写出来。
曾经林奇查阅这些古老文件的手稿时,哪怕他语言不通,但是都能够从里面看出相同的数学含义来。
这便是数学的魅力所在!
跨越了语言,跨越了时间、跨越了文化,重重高山,点燃起希望的火种。
纵然文明陨落在时光的洪流里,重新到访的外星文明看到对应的三角时,依旧能够明白人类曾经到达的彼方。
林奇一点点地回顾着整个π数值计算的思路,唯恐被打断,甚至他已经感觉到背后的契灵声势正在不断飙升过程!
紧接着,林奇默默在上面书写下一条杨辉三角通用公式——
(1+x)^n=1+nx+n(n-1)x^22!+n(n-1)(n-2)x^33!+……
二项式定理!
随意将n的数值代入,便能求到第n行的杨辉三角数值。
林奇嘴角流露微笑,当时的数学家都知道这个公式,却不知道如何利用起来。
它看着很美,可就如法拉第等人发现电磁感应,富兰克林吸引雷电,安培发现电流等等,他们都在接触“电”这个庞然大物之初,都不知道实际意义所在。
知道电动机、发电机出现,才是真正所用之处。
同样,牛顿也大笔一挥,将整个二项式公式推倒重建!
他尝试着将原本公司规定的n必须是正整数无视,直接代入n=-1!
从而公式变成了(1+x)^-1=1-1x+1x^2-1x^3……
有限的杨辉三角开始走向无限的级数。
因为原本项数里,能够靠着(n-n)=0使得后面的项都为0。
可n=-1时,原本有限的杨辉三角项数便再也不全为零,无限的级数便是无限的可能。
而这个公式,牛顿发觉两边同时乘以(1+x)会变成1=1,所以确实在某种角度而言,是有意义的。
后来牛顿便尝试着将n=12代入,同样也可以展开多项式。
到了这一步,曾经的林奇便开始震撼,因为12次方就是开根号!
要知道圆的方程是x^2+y^2=1。
因此y=(1-x^2)^12。
这便可以展开成一个新的多项式,仅仅把多项式的x替换为-x^2即可。
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